常微分方程
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在数学分析中,常微分方程(英语:ordinary differential equation,简称ODE)是未知函数只含有一个自变量的微分方程。
很多科学问题都可以表示为常微分方程,例如根据牛顿第二运动定律,物体在力的作用下的位移$s$和时间$t$的关系就可以表示为如下常微分方程:
其中 $m$是物体的质量,$f(s)$是物体所受的力,是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 $s$,它只以时间 $t$ 为自变量。
分离变量(除以$ P{2}Q{1}$)。
其中$a$,$b$不全为零
令
,则
令 $y=ux$,然后通过分离变量 $u$ 和 $x$ 求解。
分离变量(除以 $xy$)。
如果$N=M$, 解为$xy=C$。
其中 ${\frac {\partial M}{\partial x}} = {\frac {\partial N}{\partial y}}$
整个积分。
其中 $Y(y)$ 和 $X(x)$ 是积分出来的函数而不是常数,将它们列在这里以使最终函数$F(x,y)$满足初始条件。
其中${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,!$
积分变量 $μ(x,y)$满足
如果可以得到 $μ(x,y)$:
原方程乘以 ${\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ ,代换
,然后两次积分。
令${\frac{dy}{dx} = p(x)}$,$\frac{d^2y}{dx^2}={\frac{dp}{dx}}$,则原方程变为
令${\frac{dy}{dx} = p(x)}$,$\frac{d^2y}{dx^2}={\frac{dp}{dx}}={\frac{dp}{dy}} \cdot {\frac{dy}{dx}} = {\frac{dp}{dy}} \cdot p$,则原方程变为
积分因子: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$。
余函数 $y{c}$: 设 $y{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$,代换并解出 $\alpha$ 中的多项式,求出线性无关函数 $e^{\alpha {j}x}$。 特解 $y{p}$:一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 $r(x)$ 可以直观判断。
如果 $b^{2}>4c$, 则:
如果 $b^{2}=4c$, 则:
如果 $b^{2}<4c$, 则:
余函数 $y{c}$:设 $y{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$,代换并解出 $\alpha$ 中的多项式,求出线性无关函数 $e^{\alpha {j}x}$。 特解 $y{p}$:一般运用常数变易法,虽然对于非常容易的 $r(x)$ 可以直观判断。
由于 $\alpha {j}$ 为 n 阶多项式的解:$\prod {j=1}^{n} (\alpha -\alpha _{j})=0$,于是:
对于各不相同的 $\alpha _{j}$,
每个根 $\alpha {j}$ 重复 $k{j}$ 次,
对于一些复数值的 $\alpha{j}$,令 $\alpha{j} = \chi{j} + i\gamma{j}$,使用欧拉公式,前面结果中的一些项就可以写成
的形式,其中 $\phi _{j}$ 为任意常量(相移)。
变形为$y^{-n} \cdot {\frac{dy}{dx}} + P(x)y^{1-n}=Q(x)$
令$z = y^{1-n}$,得${\frac{dz}{dx}} = (1-n)y^{-n}{\frac{dy}{dx}}$, 则${\frac{1}{1-n}}{\frac{dz}{dx}}+P(x)z=Q(x)$
按照一阶线性微分方程求解即可。
令$x= e^t$或$t=lnx$,则
用$D$表示${\frac{d}{dt}}$,转化为
转化为常系数的微分方程求解。