常微分方程

在数学分析中，常微分方程（英语：ordinary differential equation，简称ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移$s$和时间$t$的关系就可以表示为如下常微分方程：

md2sdt2=f(s)m\frac{d^2s}{dt^2}=f(s)

其中 $m$是物体的质量，$f(s)$是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 $s$，它只以时间 $t$ 为自变量。

可分离方程

一阶，变量 $x$ 和 $y$ 均可分离（一般情况, 下面有特殊情况）

P1(x)Q1(y)+P2(x)Q2(y)dydx=0P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y) {\frac {dy}{dx}}=0 \\ P_{1}(x)Q_{1}(y) dx+P_{2}(x)Q_{2}(y) dy=0

解法

分离变量（除以$ P{2}Q{1}$）。

通解

∫xP1(λ)P2(λ)dλ+∫yQ2(λ)Q1(λ)dλ=C\int ^{x}{\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}} d\lambda +\int ^{y}{\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}} d\lambda =C

一阶，可化为变量可分离型

dydx=F(ax+by+c)\frac {dy}{dx}=F(ax+by+c)

其中$a$，$b$不全为零

解法

令

u=ax+by+cu=ax+by+c

，则

dudx=a+bdydx{\frac{du}{dx}} = a+b{\frac{dy}{dx}}

通解

x=∫ax+by+cdλa+bf(λ)+Cx=\int ^{ax+by+c}{\frac {d\lambda }{a+bf(\lambda )}}+C

一般一阶微分方程

一阶，齐次

dydx=F(yx){\frac {dy}{dx}}=F({\frac {y}{x}})

解法

令 $y=ux$，然后通过分离变量 $u$ 和 $x$ 求解。

通解

ln⁡(Cx)=∫yxdλF(λ)−λ\ln(Cx)=\int ^{\frac {y}{x}}{\frac{d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}

一阶，可分离变量

yM(xy)+xN(xy)dydx=0yM(xy)dx+xN(xy)dy=0yM(xy)+xN(xy) {\frac {dy}{dx}}=0 \\ yM(xy) dx+xN(xy) dy=0

解法

分离变量（除以 $xy$）。

通解

ln⁡(Cx)=∫xyN(λ)dλλ[N(λ)−M(λ)]\ln(Cx)=\int ^{xy}{\frac {N(\lambda ) d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}

如果$N=M$, 解为$xy=C$。

恰当微分, 一阶

M(x,y)dydx+N(x,y)=0M(x,y) dy+N(x,y)dx=0M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0 \\ M(x,y)\,dy+N(x,y) dx=0

其中 ${\frac {\partial M}{\partial x}} = {\frac {\partial N}{\partial y}}$

解法

整个积分。

通解

F(x,y)=∫yM(x,λ)dλ+∫xN(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=CF(x,y)=\int ^{y}M(x,\lambda ) d\lambda +\int ^{x}N(\lambda ,y) d\lambda +Y(y)+X(x)=C

其中 $Y(y)$ 和 $X(x)$ 是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数$F(x,y)$满足初始条件。

反常微分, 一阶

M(x,y)dydx+N(x,y)=0M(x,y)dy+N(x,y)dx=0M(x,y){\frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0 \\ M(x,y) dy+N(x,y) dx=0

其中${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}\,!$

解法

积分变量 $μ(x,y)$满足

∂(μM)∂x=∂(μN)∂y{\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}

通解

如果可以得到 $μ(x,y)$:

F(x,y)=∫yμ(x,λ)M(x,λ)dλ+∫xμ(λ,y)N(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=CF(x,y)=\int ^{y}\mu (x,\lambda )M(x,\lambda ) d\lambda +\int ^{x}\mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y) d\lambda +Y(y)+X(x)=C

一般二阶微分方程

二阶, 自治

d2ydx2=F(y){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=F(y)

解法

原方程乘以 ${\frac {2\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ ，代换

2dydxd2ydx2=ddx(dydx)22{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} x}} ({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}

，然后两次积分。

通解

x=±∫ydλ2∫λF(ϵ) dϵ+C1+C2x=\pm \int ^{y}{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\sqrt {2\int ^{\lambda }F(\epsilon )\,\mathrm {d} \epsilon +C_{1}}}}+C_{2}

二阶可降阶，${\frac{d^2y}{dx^2}=f(x, {\frac{dy}{dx}})}$

解法

令${\frac{dy}{dx} = p(x)}$，$\frac{d^2y}{dx^2}={\frac{dp}{dx}}$，则原方程变为

dpdx=f(x,p){\frac{dp}{dx}} = f(x, p)

二阶可降阶，${\frac{d^2y}{dx^2}=f(y, {\frac{dy}{dx}})}$

解法

令${\frac{dy}{dx} = p(x)}$，$\frac{d^2y}{dx^2}={\frac{dp}{dx}}={\frac{dp}{dy}} \cdot {\frac{dy}{dx}} = {\frac{dp}{dy}} \cdot p$，则原方程变为

dpdy=f(y,p){\frac{dp}{dy}} = f(y, p)

线性方程 (最高到$n$阶)

一阶线性，非齐次的函数系数

dydx+P(x)y=Q(x){\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)

解法

积分因子: $e^{\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }$。

通解

y=e−∫xP(λ)dλ[∫xe∫λP(ϵ)dϵQ(λ)dλ+C]y=e^{-\int ^{x}P(\lambda ) d\lambda }[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon ) d\epsilon }Q(\lambda ) {d\lambda }+C]

二阶线性，非齐次的常系数

d2ydx2+bdydx+cy=r(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=r(x)

解法

余函数 $y{c}$: 设 $y{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代换并解出 $\alpha$ 中的多项式，求出线性无关函数 $e^{\alpha {j}x}$。 特解 $y{p}$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的 $r(x)$ 可以直观判断。

通解

y=yc+ypy=y_{c}+y_{p}

如果 $b^{2}>4c$, 则:

yc=C1e(−b+b2−4c)x2+C2e(b+b2−4c)x2y_{c}=C_{1}e^{(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}){\frac {x}{2}}}

如果 $b^{2}=4c$, 则:

yc=(C1x+C2)e−bx2y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac {bx}{2}}}

如果 $b^{2}<4c$, 则:

yc=e−bx2[C1sin⁡(∣b2−4c∣x2)+C2cos⁡(∣b2−4c∣x2)]y_{c}=e^{-{\frac {bx}{2}}} [C_{1}\sin {({\sqrt {|b^{2}-4c|}}{\frac {x}{2}})}+C_{2}\cos {({\sqrt {|b^{2}-4c|}}{\frac {x}{2}})}]

$n$ 阶线性，非齐次常系数

∑j=0nbjdjydxj=r(x)\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)

解法

余函数 $y{c}$：设 $y{c}=\mathrm {e} ^{\alpha x}$，代换并解出 $\alpha$ 中的多项式，求出线性无关函数 $e^{\alpha {j}x}$。 特解 $y{p}$：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的 $r(x)$ 可以直观判断。

通解

y=yc+ypy=y_{c}+y_{p}

由于 $\alpha {j}$ 为 n 阶多项式的解：$\prod {j=1}^{n} (\alpha -\alpha _{j})=0$，于是：

对于各不相同的 $\alpha _{j}$，

yc=∑j=1nCjeαjxy_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}

每个根 $\alpha {j}$ 重复 $k{j}$ 次，

yc=∑j=1n(∑ℓ=1kjCℓxℓ−1)eαjxy_{c}=\sum _{j=1}^{n} (\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1})e^{\alpha _{j}x}

对于一些复数值的 $\alpha{j}$，令 $\alpha{j} = \chi{j} + i\gamma{j}$，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成

eαjx=eχjxcos⁡(γjx+ϕj)e^{\alpha _{j}x}=e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})

的形式，其中 $\phi _{j}$ 为任意常量（相移）。

伯努利方程

dydx+P(x)y=Q(x)dnydxn,n≠1,2{\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}, n \neq 1, 2

解法

变形为$y^{-n} \cdot {\frac{dy}{dx}} + P(x)y^{1-n}=Q(x)$

令$z = y^{1-n}$，得${\frac{dz}{dx}} = (1-n)y^{-n}{\frac{dy}{dx}}$， 则${\frac{1}{1-n}}{\frac{dz}{dx}}+P(x)z=Q(x)$

通解

按照一阶线性微分方程求解即可。

欧拉方程

xndnydxn+p1xn−1dn−1ydxn−1+...+pn−1xdydx+pny=f(x)x^{n}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+p_{1}x^{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+p_{n-1}x{\frac {dy}{dx}}+p_{n}y=f(x)

解法

令$x= e^t$或$t=lnx$，则

dydx=dydtdtdx=1xdydtd2ydx2=1x2(d2ydt2−dydt)d3ydx3=1x3(d3ydt3−3d2ydt2+2dydt)...{\frac{dy}{dx}} = {\frac{dy}{dt}}{\frac{dt}{dx}}= {\frac{1}{x}}{\frac{dy}{dt}} \\{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}} = {\frac{1}{x^2}}({\frac{d^2y}{dt^2}} - {\frac{dy}{dt}}) \\ {\frac{d^{3}y}{dx^{3}}} = {\frac{1}{x^3}}({\frac{d^3y}{dt^3}} - 3{\frac{d^2y}{dt^2}} +2 {\frac{dy}{dt}}) \\ ...

用$D$表示${\frac{d}{dt}}$，转化为

xkdkydxk=D(D−1)...(D−k+1)yx^{k}{\frac{d^{k}y}{dx^{k}}}=D(D-1)...(D-k+1)y

转化为常系数的微分方程求解。

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